Álgebra lineal Ejemplos

$8 y^{2} = 8 - x^{2}$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la elipse.

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Paso 1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 1.1.1

Suma $x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$8 y^{2} + x^{2} = 8$

Paso 1.1.2

Reordena $8 y^{2}$ y $x^{2}$ .

$x^{2} + 8 y^{2} = 8$

Paso 1.2

Divide cada término por $8$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{8 y^{2}}{8} = \frac{8}{8}$

Paso 1.3

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{x^{2}}{8} + y^{2} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = 2 \sqrt{2}$

$b = 1$

$k = 0$

$h = 0$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(0, 0)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la elipse con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(1)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {(1)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - {(1)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(1)}^{2}}$

Paso 5.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(1)}^{2}}$

Paso 5.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(1)}^{2}}$

Paso 5.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(1)}^{2}}$

Paso 5.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{4 \cdot 2^{1} - {(1)}^{2}}$

Paso 5.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{4 \cdot 2 - {(1)}^{2}}$

Paso 5.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$\sqrt{8 - {(1)}^{2}}$

Paso 5.3.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{8 - 1 \cdot 1}$

Paso 5.3.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\sqrt{8 - 1}$

Paso 5.3.3.4

Resta $1$ de $8$ .

$\sqrt{7}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una elipse puede obtenerse al sumar $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0 + 2 \sqrt{2}, 0)$

Paso 6.3

Simplifica.

$(2 \sqrt{2}, 0)$

Paso 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Paso 6.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0 - (2 \sqrt{2}), 0)$

Paso 6.6

Simplifica.

$(- 2 \sqrt{2}, 0)$

Paso 6.7

Las elipses tienen dos vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{2}, 0)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una elipse puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0 + \sqrt{7}, 0)$

Paso 7.3

Simplifica.

$(\sqrt{7}, 0)$

Paso 7.4

El segundo foco de una elipse puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 7.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0 - (\sqrt{7}), 0)$

Paso 7.6

Simplifica.

$(- \sqrt{7}, 0)$

Paso 7.7

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{7}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{7}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{7}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{7}, 0)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(1)}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.3

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 8.3.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{1} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.3.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2 - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.4

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{8 - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{\sqrt{8 - 1 \cdot 1}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{8 - 1}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.7

Resta $1$ de $8$ .

$\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 8.3.2

Multiplica $\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 8.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.3.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 8.3.3.2

Mueve $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Paso 8.3.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Paso 8.3.3.4

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Paso 8.3.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 8.3.3.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 8.3.3.7

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 8.3.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 8.3.3.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 8.3.3.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.3.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.3.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.3.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Paso 8.3.3.7.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 8.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{7 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Paso 8.3.4.2

Multiplica $7$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{14}}{2 \cdot 2}$

Paso 8.3.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{14}}{4}$

Paso 9

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{7}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{7}, 0)$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{14}}{4}$

Paso 10